Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, grüß Gott zusammen. Ich weiß, Sie warten alles schon auf den feierlichen Abschluss der Vorlesung,

aber vorher müssen wir doch ein kleines bisschen was noch arbeiten.

Wir hatten angefangen, uns mit Permutationen zu beschäftigen und entsprechend dazu Permutationsmatrizen,

die eben gerade so gestaltet sind, dass sie den Itenbasisvektor auf die Sigma-I-Teposition bringen,

oder ja, den Itenbasisvektor, muss ich es anders sagen, abbilden auf E Sigma-I.

Und wir brauchen jetzt noch ein Hilfsmittel. Warum wir das brauchen, ist im Moment nicht so ersichtlich.

Das ist eine ganz spezielle Kennzahl für eine Permutation.

Das nennen wir das Signum der Permutation. Und das soll eine Abbildung sein in die reellen Zahlen.

Also wir möchten eine reelle Zahl zuordnen mit ganz speziellen Eigenschaften.

Erstmal kommen nur Plus und Minus 1 in Frage.

Das sieht man schon, das ist dann losgelöst von den reellen Zahlen.

Denn Plus und Minus 1, das heißt also ein multiplicativ neutrales und dazu ist ein additiv inverses,

das gibt es in jeder auch abstrakteren Zahlmenge als in den reellen Zahlen.

Das soll so sein, diese Abbildung soll so sein, dass eine Vertauschung das Signum Minus 1 hat,

es gibt ja nur die Möglichkeiten Plus oder Minus 1, und dass diese Beziehung gilt.

Also dass das Signum einer Komposition von Sigma kringel Tau gerade das Produkt der zugehörigen Bilder ist.

Signum von Sigma mal Signum von Tau.

Wir sehen also jetzt wieder so diese Verträglichkeit einer Abbildung zwischen den Strukturen.

Auf der Menge Sigma n, auf der symmetrischen Gruppe, haben wir als Verknüpfung die Komposition

und auf der Menge Plus 1, wie eben generell auf den reellen Zahlen, aber da insbesondere erbt das sozusagen,

die Multiplikation, haben wir eine Multiplikation.

Und diese Menge ist unter der Multiplikation auch abgeschlossen.

1 mal 1 ist 1, minus 1 mal minus 1 ist 1, und dann bleibt nur noch 1 mal minus 1 übrig, was auch in der Menge liegt.

Das heißt also, wir haben hier sozusagen eine sehr kleine Zahlmenge mit der Multiplikation.

Und hier steht diese Signum Abbildung, das ist eine verträgliche Abbildung eben zwischen der symmetrischen Gruppe

mit der Komposition und dieser Plus-Minus-Eins-Gruppe, wie wir später sagen werden, mit der Multiplikation.

Gut, jetzt wollen wir, das Wesentliche ist, diese Abbildung jetzt vernünftig zu definieren.

Das ist ein bisschen technisch und wird jetzt uns ein bisschen beschäftigen.

Ich versuche das mal einigermaßen schmerzfrei zu machen, aber es geht, glaube ich, nicht ganz.

Okay, wir werden jetzt einen Begriff einführen für eine Permutation, den wir nur in diesem Beweis benutzen.

Das ist also ein Hilfsbegriff nur für diesen Beweis, deswegen ist das jetzt nicht irgendwie als Beweis in einer Beweisumgebung eingeführt.

Und zwar definieren wir den sogenannten Fehlstand einer Permutation.

Das ist also der neue Begriff.

Und zwar sagen wir, ein Fehlstand ist ein paar von Indizes, ein paar von Elementen aus der Menge 1 bis n.

Und wir sagen also Sigma, aus Sigma n hat den Fehlstand ij.

Also ij sind Zahlen zwischen 1 und n, worauf eben die Permutation läuft.

Wenn Folgendes gilt, es ist zwar einerseits i kleiner j, aber es ist Sigma i größer Sigma j.

Es ist sozusagen eine lokale Verletzung der Monotonie in dieser Abbildung.

Ich nehme an, Sie kennen den Begriff der Monotonie aus der Analysis.

Wir fangen mal an, die Fehlstände, und wir interessieren uns nicht für den individuellen Fehlstand,

sondern wir wollen einfach wissen, wie viele Fehlstände hat eine Permutation.

Und wir fangen an mit einer Vertauschung und versuchen da mal auszurechnen, wie viele Fehlstände die hat.

Also eine Vertauschung hat zwei definierende Indizes k und l, der Gestalt, dass gerade diese beiden Positionen

vertauscht werden und alle anderen bleiben gleich. Ich gehe mal davon aus, obd a, dass k kleiner als l ist.

Und dann sehen doch die Bilder so aus. Sie ist Sigma 1 bis Sigma n. Lange Zeit tut sich gar nichts.

Da wird jedes Element auf sich selbst abgebildet bis zum Element k minus 1.

An die Position k kommt jetzt das Element l, dann geht es so weiter, bis wir zum Element l minus 1 kommen.

Auf die Position l kommt jetzt das Element k, und dann geht es wieder unverändert weiter.

l plus 1 bis wir schließlich bei n angelangt sind. Und in der Situation wollen wir jetzt die Fehlstände zählen.